Satz des Pythagoras: Erklärung, Beispiele und Übungsaufgaben mit Bildern

Der Satz des Pythagoras ist eine der ältesten und wichtigsten mathematischen Erkenntnisse. Er gilt für jedes rechtwinklige Dreieck — und er begegnet dir nicht nur in der Schule, sondern auch im Alltag.

Was sagt der Satz des Pythagoras?

In einem rechtwinkligen Dreieck gilt: Die Summe der Quadrate der beiden Katheten (a und b) ist gleich dem Quadrat der Hypotenuse (c). Kurz: **a² + b² = c²**. Die Hypotenuse ist dabei immer die längste Seite — sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Schritt-für-Schritt: Hypotenuse berechnen

*Aufgabe: Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 6 cm und b = 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse c?*

Schritt 1: Formel aufschreiben → c² = a² + b²

Schritt 2: Werte einsetzen → c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100

Schritt 3: Wurzel ziehen → c = √100 = 10 cm

Schritt-für-Schritt: Kathete berechnen

*Aufgabe: c = 13 cm, a = 5 cm. Wie lang ist b?*

Schritt 1: Formel umstellen → b² = c² - a²

Schritt 2: Einsetzen → b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144

Schritt 3: Wurzel → b = √144 = 12 cm

Alltagsbeispiel: Leiter an der Wand

Eine Leiter ist 5 Meter lang und lehnt an einer Wand. Der Fuß der Leiter steht 3 Meter von der Wand entfernt. Wie hoch reicht die Leiter? Hier ist die Leiter die Hypotenuse (c = 5), der Abstand zur Wand eine Kathete (a = 3). Also: b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16 → b = 4 Meter.

Die 3 häufigsten Fehler

1. **Hypotenuse und Kathete verwechseln**: c ist IMMER die längste Seite. Wenn du c suchst, addierst du. Wenn du a oder b suchst, subtrahierst du.

2. **Wurzel vergessen**: Nach c² = 100 ist c nicht 100, sondern √100 = 10!

3. **Bei nicht-rechtwinkligen Dreiecken anwenden**: Pythagoras gilt NUR bei rechtwinkligen Dreiecken. Prüfe das immer zuerst.

Übungsaufgaben

1. a = 9 cm, b = 12 cm. Wie lang ist c? → c² = 81 + 144 = 225 → c = 15 cm ✓

2. c = 10 cm, b = 6 cm. Wie lang ist a? → a² = 100 - 36 = 64 → a = 8 cm ✓

3. Ein Fussballfeld hat die Masse 100 m × 64 m. Wie lang ist die Diagonale? → d = √(10000 + 4096) = √14096 ≈ 118,7 m ✓