Quadratische Gleichungen lösen: pq-Formel, Scheitelpunkt und Diskriminante

Quadratische Gleichungen sind ein Kernthema der Algebra ab Klasse 9. Wer die Methoden kennt, löst sie zuverlässig.

Normalform

Jede quadratische Gleichung lässt sich auf die Form x² + px + q = 0 bringen (Normalform). Wenn ein Faktor vor x² steht, teile die ganze Gleichung durch diesen Faktor.

Die pq-Formel

x₁,₂ = -p/2 ± √((p/2)² - q). Beispiel: x² - 6x + 8 = 0 → p = -6, q = 8 → x₁,₂ = 3 ± √(9-8) = 3 ± 1 → x₁ = 4, x₂ = 2.

Die Diskriminante

D = (p/2)² - q entscheidet über die Anzahl der Lösungen:

D > 0: Zwei verschiedene Lösungen.

D = 0: Eine Lösung (Doppellösung).

D < 0: Keine reelle Lösung.

Satz von Vieta

Wenn x₁ und x₂ die Lösungen von x² + px + q = 0 sind, dann gilt:

x₁ + x₂ = -p und x₁ × x₂ = q. Nützlich zum Überprüfen der Lösung!

Scheitelpunktform

f(x) = a(x - d)² + e, wobei S(d|e) der Scheitelpunkt ist. Umwandlung durch quadratische Ergänzung. Der Scheitelpunkt ist der tiefste (a > 0) oder höchste (a < 0) Punkt der Parabel.

Tipps

1. Immer erst auf Normalform bringen

2. Diskriminante VOR dem Rechnen prüfen

3. Lösungen mit Vieta gegenchecken